가산집합
영어로는 countable set이라고 한다. 가산(Countable)=count+able, 곧 셀 수 있는 집합을 뜻한다. 수학스러운 표현으로는 '자연수와 1대 1 대응할 수 있는 함수가 존재하는 집합'이다.
수학적으로 볼 때 '셀 수 있다'는 것은 순서를 매길 수 있다는 뜻이다. 유한할 필요는 없다. 당장에 가산집합의 정의가 자연수와 1:1 대응, 즉 전단사함수가 존재한다는 것인데, 자연수부터가 무한집합이다. 그 어떤 어마어마하게 큰 자연수를 골라도 그 수 '번째' 자연수다. 정수도 마찬가지다. 0이 첫 번째이고, 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 순서는 절댓값을 사용해서 [math]\displaystyle{ 2|n|+1 }[/math], [math]\displaystyle{ -n }[/math]의 순서는 [math]\displaystyle{ 2|n|+2 }[/math]로 하면 어떤 정수든 다 순서를 매길 수 있다. 반대로 자연수보다 확실히 더 작을 것 같은 무한집합도 자연수와 1대 1 대응할 수 있다. 예를 들어 짝수라면 [math]\displaystyle{ \frac{n}{2} }[/math]로 자연수와 1:1 대응할 수 있다.
그럼 유리수는? 아닐 것 같은데? 예를 들어서 0.000000001은 몇 번째 수인데? [math]\displaystyle{ \frac{1}{3} }[/math], 그러니까 0.3333333...이 끝없이 이어지는 무한소수는? 이걸 순서를 매기는 게 말이 되나?
그러나 유리수는 카운터블 집합이다. 왜? 어떻게?
유리수는 [math]\displaystyle{ \frac{n}{m} }[/math]과 같은 분수로 표현할 수 있는 수다. 그러면 아래 표처럼 분수를 배열할 수 있다.
열은 분모, 행은 분자로 한다. 그리고 화실표로 나타낸 것처럼 표를 지그재그로 오가면서 순서를 배열하면 어떤 분수든 순서가 생긴다. 무한소수인 [math]\displaystyle{ \frac{1}{3} }[/math]도 1행 3열에 배치될 수 있다. 따라서 유리수는 카운터블 집합이다.
무리수는 어떨까? 실수는 무리수와 유리수를 합친 것이다. 실수가 불가산집합이므로 실수에서 카운터블인 유리수를 뺀 무리수는 불가산집합이다. 칸토르의 대각논법을 사용하면 실수가 불가산집합인 것을 증명할 수 있다. 자연수에서 실수로 가는 전단사함수가 있다고 가정하고, 어떤 임의의 n번째와 n+1번째 실수를 취해도 그 사이에 다른 실수가 존재함을 입증함으로써 모순이 있음을 입증한 것. 정확하게는 칸토르는 유리수와 무리수를 합친 실수가 자연수보다 '많다'는 것을 입증한 것이다. 무한의 개념에서 '많다'는 것은 1:1 대응이 불가능하다는 것이므로 가산집합이 아니라는 것이며, 유리수는 가산집합이므로 무리수는 불가산집합이 된다.
